[복소해석학] 리만 사상 정리(Riemann mapping theorem) (1)

 

복소해석학 분야에서 중요하게 다뤄지는 리만 사상 정리에 대해 알아보자. 

증명이 매우 긴 관계로 (1)과 (2)로 게시글을 나누겠다.

해당 내용은 (수학교육과)학부 수준의 복소해석학 수업에서 다뤄지는 경우도 있고, 다루지 않는 경우도 있다고 한다.

(교수님 피셜)

필자는 프로젝트 형태로 해당 내용을 공부했고, 이를 정리하여 적어보려한다.

 

 

리만 사상 정리(Riemann mapping theorem)

 

$D(\ne \mathbb{C})$ 가 simply connected domain이고 $z_0\in D$ 이면

$\mathrm{\exists }$ unique bijective conformal function $f$ which maps $D$ onto the disk $|z|<1$

s.t $f(z_0)=0,f^{\prime }(z_0)>0$.

 

쉽게 말해 복소평면 그 자체가 아닌 단순 연결 영역에서 단위원판으로 가는

bij, conf, $f(z_0)=0$, $f^{\prime }(z_0)>0$인 함수 f가 유일하게 존재한다는 정리이다.

 

즉, 복소평면 그 자체가 아닌 두 단순 연결 영역 $U$, $V$는 동형이라는 말이다. 

($U$에서 단위원판으로 가는 함수 $f$와 $V$에서 단위원판으로 가는 함수 $g$의 역함수를 합성)

 

 

 

수학에서 동형, 즉 구조적으로 같다는 것은 이루 말할 수 없이 크리티컬하다는 사실을 모두 알고 있을 것이다.

따라서 이 정리의 중요성은 더 언급하지 않겠다. 

 

 

 

이 정리를 증명하기 위해선 복소함수론 전반에 대한 이해가 필요하다. 그중 일부 정의와 Montel's Thm에 관한 내용만 언급하겠다.

 

Def. 실수 $M$이 존재하여 $|f(z)|\le M$ for all $f\in F$ and all $z\in A$이면

함수족 $F$가 집합 $A$에서 $uniformly$ $bounded$ 라 한다.

 

해석학에서 배운 균등유계와 같은 개념이다. 쉽게 넘어가자.

 

Def. 모든 $F$ 내부의 함수열 $f_n$이 영역 $D$의 컴팩트 부분집합으로 균등수렴하는 부분수열 $f_{n_k}$를 가지면

함수족 $F$는 영역 $D$에서 $normal$이라 한다.

 

 

Montel's theorem

만약 $F$가 영역 $D$에서 국소 균등 유계(locally uniformly bounded)인 해석함수들의 함수족이면 

$F$는 $D$에서 $normal$ $family$이다.

 

Montel's thm에서 locally uniformly bdd는 $D$의 모든 컴팩트 부분집합에서 unif bdd라는 말이다.

 

위 내용을 인지한 채 이제 리만 사상 정리의 증명을 시작하겠다. 위 내용이 완벽히 이해가 가지 않더라도 일단 아래의 증명을 보며 따라가보길 권장한다. 아래의 증명에서 이해되지 않는 부분은 그때 찾아봐도 늦지않다.

(본 글은 리만 사상 정리에 관한 글이므로 몬텔정리 등의 다른 정리들은 증명없이 사용하겠다.)

 

 

 

리만 사상 정리(Riemann mapping theorem) 증명

해당 함수의 존재성과 유일성을 따로 증명하겠다.

유일성부터 증명하겠다.

 

(Uniqueness) 조건을 만족시키는 두 함수 $g_1$, $g_2$가 존재한다고 가정하자. 

$h=g_2\circ g_1^{-1}$라 하면 $h$는 단위원판에서 단위원판으로 가는 analytic bij 함수이다. 

게다가 $h(0)=g_2(g_1^{-1}(0))=g_2(z_0)=0$이고 

${\displaystyle h^{\prime }(0)=g_2^{\prime }(g_1^{-1}(0))(g_1^{-1}{)}^{\prime }(0)=\frac{g_2^{\prime }(z_0)}{g_1^{\prime }(z_0)}>0}$이다.

$h$와 $h^{-1}$에서 슈바르츠 렘마(Schwarz Lemma)를 사용하고 $h^{\prime }(0)$이 양의 실수라는 점을 이용하면

$h(z)=z$임을 알 수 있다. 이는 $g_1(z)=g_2(z)$임을 의미한다.

 

유일성 증명은 위에서 언급한 내용이 사용되지 않는다. 쉽게 받아들일 수 있으니 빠르게 넘어가자.

 

(Existence) 우선 함수족 $F$를 단사이고 $g(z_0)=0$, $g^{\prime }(z_0)>0$, $|g(z)|<1$ for all $z\in D$인 모든 해석함수 $g:D\to \mathbb{C}$들의 함수족이라 하자.

 

존재성을 증명할 때 그런 함수족 $F$가 공집합이 아님을 먼저 증명하고(Step 1) 

$z_0$에서 미분계수가 최댓값을 갖는 함수 $f$가 함수족 $F$에 존재함을 증명하고(Step 2)

마지막으로 $f$가 전사(surjective)임을 증명할 것이다.(Step 3)

 

- Step 1 : 그러한 $F$가 공집합이 아님을 증명하자.

Case 1 : $D$가 유계일 때

$D$는 $\mathbb{C}$가 아니므로 $\mathrm{\exists }a\in \mathbb{C}\setminus D$ 이다.

$D$는 유계이므로 그러한 $a$에 대하여 원판 $|z-a|<ϵ$가 $D$의 외부에 존재한다.

즉, $D$의 모든 원소 $z$에 대하여 $|z-a|>ϵ$이다. 

이제 함수 $g$를 ${\displaystyle g(z)=\frac{ϵ}{z-a}}$라 하면 $g$는 $D$에서 해석적, 단사이고 $|g(z)|<1$이다.

적절한 선형변환을 통해 $g$를 $g(z_0)=0$, $g^{\prime }(z_0)>0$로 만들어줄 수 있으므로 $F$는 공집합이 아니다.

 

Case 2 : $D$가 유계가 아닐 때

유계가 아니면 $D$의 여집합에 어떤 원판도 포함되지 않을 수 있다. 즉, 유계일 때와 같은 방식의 증명은 어려울 수 있다.

$D$는 $\mathbb{C}$가 아니므로 $\mathrm{\exists }a\in \mathbb{C}\setminus D$ 이다.

그러면 해석적이고 단사인 $\phi :D\to \mathbb{C}$  as ${\phi (z)}^2=z-a$ 가 존재한다.

이제 $D^{\prime }$을 $\phi (D)$라 하면 $D^{\prime }$의 여집합에 포함되는 원판이 존재하게 된다.

$w_0\in D^{\prime }$라 하자. 중심이 $w_0$이고 반지름의 길이가 $ϵ>0$인 원판이 $D^{\prime }$에 포함되고,

원점에 대칭인 점인 $w_0\in \mathbb{C}\setminus D^{\prime }$에 대해 중심이 $w_0$이고 반지름의 길이가 $ϵ$인 원판 $|w+w_0|<ϵ$이 $\mathbb{C}\setminus D^{\prime }$ 에 포함된다.

 

이제 Case 1과 같이 ${\displaystyle h(w)=\frac{ϵ}{w+w_0}}$라 하면 $h$는 $D^{\prime }$을 단위원판으로 사상하고 $g(z)=h(\phi (z))$라 하면 $g$는  $D$에서 해석적, 단사이고 $|g(z)|<1$이다.

적절한 선형변환을 통해 $g$를 $g(z_0)=0$, $g^{\prime }(z_0)>0$로 만들어줄 수 있으므로 $F$는 공집합이 아니다.

 

 

 

나머지 증명은 두번째 게시물에서 이어가겠다.