[복소해석학] 리만 사상 정리(Riemann mapping theorem) (2)

 

 

 

 

저번 글에 이어 리만 사상 정리(Riemann mapping theorem)의 증명을 이어가겠습니다.

 

먼저 저번 글 내용을 간략히 요약하겠습니다.

 

리만 사상 정리 :

$D(\ne \mathbb{C})$ 가 simply connected domain이고 $z_0\in D$ 이면

$\mathrm{\exists }$ unique bijective conformal function $f$ which maps $D$ onto the disk $|z|<1$

s.t $f(z_0)=0,f^{\prime }(z_0)>0$.

 

 

리만 사상 정리가 의미하는 바는 복소평면 상의 $\mathbb{C}$가 아닌 임의의 두 단순 연결 영역은 동형이라는 뜻입니다.

이 정리의 증명을 위해 저번 글에서 균등유계(uniformly bounded)와, normal의 정의, 그리고 몬텔정리까지 알아봤습니다.

 

증명은 크게 유일성에 대한 증명과, 존재성에 대한 증명으로 나누어지고, 지난 시간에 유일성에 대한 증명과 존재성에 대한 증명 중 Step 1, 즉 우리가 정의한 함수족 $F$가 공집합이 아님을 증명했다.

 

(Existence) 우선 함수족 $F$를 단사이고 $g(z_0)=0$, $g^{\prime }(z_0)>0$, $|g(z)|<1$ for all $z\in D$인 모든 해석함수 $g:D\to \mathbb{C}$들의 함수족이라 하자.

 

존재성을 증명할 때 그런 함수족 $F$가 공집합이 아님을 먼저 증명하고(Step 1) : clear

$z_0$에서 미분계수가 최댓값을 갖는 함수 $f$가 함수족 $F$에 존재함을 증명하고(Step 2)

마지막으로 $f$가 전사(surjective)임을 증명할 것이다.(Step 3)

 

이제 Step 2를 증명해보자. 

 

- Step 2 : $z_0$에서 미분계수가 최댓값을 갖는 함수 $f$가 함수족 $F$에 존재한다.

$F$는 $D$에서 균등유계이므로 몬텔정리에 의하여 $F$는 normal family이다.

$A$를 $A:=sup\{g^{\prime }(z_0)|g\in F\}$라 하자. 그러면 Step 1에 의해 $A$는 양수이다.

그리고 $\mathrm{\exists }\{f_n\}$ in $F$ s.t ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n^{\prime }(z_0)=A}$이다.

$F$는 normal이기 때문에 $\mathrm{\exists }\{f_{n_k}\}$, $\mathrm{\exists }f$ s.t 모든 $D$의 컴팩트 부분집합에서 $f_{n_k}\rightrightarrows f$.

모든 $z\in D$에 대하여 $|f(z)|\le 1$이고,

${\displaystyle f(z_0)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}f{n}_k(z_0)=0}$, $f^{\prime }(z_0)=A\ge f_1^{\prime }(0)>0$이므로 $f$는 $D$에서 상수함수가 아니다.

$f_{n_k}$는 해석적이고 단사이므로 $f$도 해석적이고 단사이다.

그리고 $f_{n_k}^{\prime }$는 $f^{\prime }$으로 점별수렴하므로 ${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }{n}_k(z_0)=f^{\prime }(z_0)=A<\mathrm{\infty }}$.

즉, $A$는 어떤 양의 실수이고, 따라서 $f$는 $z_0$에서 미분계수의 최댓값을 갖는다.

 

이것으로 Step 2는 비교적 어렵지 않게 증명이 끝났고, 마지막으로 Step 3을 증명해보자.

 

- Step 3 : $f$는 전사(surjective)이다.

귀류법을 이용할 것이다. 즉, $\mathrm{\exists }\alpha$ s.t $|\alpha |<1$, 모든 $z\in D$에 대하여 $f(z)\ne \alpha$라 가정하자.

즉, 단위원판 안의 어떤 점 $\alpha$를 $f$가 채우지 못한다고 가정하자.

그러면 ${\displaystyle \{G(z){\}}^2=\frac{f(z)-\alpha }{1-\bar{\alpha }f(z)}}$인 해석함수 $G$가 $D$에 존재하고 $|G(z)|<1$이다.

그러면 함수 $H$를 ${\displaystyle H(z)=\frac{|G^{\prime }(z_0)|}{G^{\prime }(z_0)}\frac{G(z)-G(z_0)}{1-\overline{G(z_0)}G(z)}}$라 하자. 

$H(z_0)=0$, $H^{\prime }(z_0)>0$이므로 $H\in F$이다.

함수 $H$의 탄생과정.

 

그러면 ${\displaystyle H^{\prime }(z_0)=\frac{|G^{\prime }(z_0)|}{1-|G(z_0){|}^2}=\frac{1+|\alpha |}{2\sqrt{|\alpha |}}A>A=f^{\prime }(z_0)}$이므로 Step 2의 $A$의 정의에 모순이다.

즉, $f$ maps $D$ onto unit disk.

 

 

이렇게 Step 1, Step 2, Step 3에 의해 우리가 리만 사상 정리에서 원하는 함수 $f$의 존재성이 증명됐고, 유일성에 대해서도 증명했으므로 리만 사상 정리의 증명이 완료되었다.

 

 

 

 

레이텍으로 처음 작업을 해보았는데, 한글 수식편집기에 비하면 시각적으로 바로바로 드러나지 않아서 시간이 오래걸렸다. 더 자주 게시글을 작성하여 익숙해지게 만들어야겠다.