[고1 수학] 무리함수와 직선 접할 때 증명

 

 

하 너무 답답해서 블로그를 켰다.

 

아래는 동아출판의 고등학교 1학년 수학 무리함수 단원의 문항 중 하나다.

 

 

아래는 교학사의 고등학교 1학년 수학 교과서 무리함수 단원 문항 중 하나다. 11번을 보자.

 

 

 

두 문제는 모두 두 함수 $y=\sqrt{a(x-p)}+q$와 $y=mx+n$의 그래프가 접하는 상황을 다룬다.

그런데 11번의 해설을 보면 알겠지만(해설은 지도서에 나오는 내용이다.)

냅다 연립해서 제곱하여 이차방정식을 만든 뒤 판별식 $D$가 $0$임을 이용해서 문제를 푼다.

 

비단 교과서 뿐만이 아니다.

시중의 많은 문제집의 무리함수 단원에서

두 함수(무리함수, 일차함수)의 그래프가 접하면 저렇게 이항하고, 제곱하여 이차방정식을 만든 뒤 

그 이차방정식의 판별식이 $0$이다. 라고 풀고있다.

 

왜???? 증명을 해줘야지.

 

어디에서도 증명을 찾아볼 수 없어서 직접 증명했다. 고등학교 1학년까지의 수학만을 사용해서.

계산으로 밀고가는 증명법을 택했다. 

당연히 다양한 증명이 있겠지만, 중학교 3학년에서 이차방정식을 처음 학습할 때

대수식으로 근의 공식을 유도했고, 고1 수학 상에서 판별식 개념이 근의 공식으로부터 도출되기에

대수적으로 증명하겠다.

 

(개인적으로 생각한 또다른 증명법으로는 $\{f(x){\}}^2=\{g(x){\}}^2$ 의 근과

$f(x)=g(x)$, $f(x)=-g(x)$의 근의 합집합이 동일하다는 사실을 사용하여

무리함수를 $x$축 대칭시키고, 직선과 무리함수가 접하면 대칭시킨 무리함수와 그 직선은 접할 수 없다는 논리로

증명을 이어나갈 수 있다.

이 증명이 궁금하다면 댓글을 달아주길 바란다.)

 

 

 

ChatGPT도 증명을 못해줘서 직접 손으로 계산했다.

 

 

 

$f(x)=\sqrt{a(x-p)}+q(a\ne 0)$, $g(x)=mx+n$라 하자.  두 함수 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 그래프가 접하면, 방정식 $f(x)=g(x)$를 적당히 연립하고 이항하고 제곱해서 만든 이차방정식의 판별식 $D$에 대하여 $D=0$이다.

 

$f(x)=-\sqrt{a(x-p)}+q$ 꼴이어도 위 내용은 성립한다. 증명과정도 99% 유사하니 위와 같은 경우만 증명하겠다. 

 

 

증명의 핵심은 두 함수 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 그래프가 접한다는 것은 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$, $g^{-1}(x)$이 접한다는 것과 동치라는 점이다. 역함수가 접하는 것으로 상황을 돌리는 이유는 무리함수의 역함수가 이차함수 꼴이고, 이차함수 꼴을 어떻게든 가져와야지만 증명을 이어나갈 수 있기 때문이다.

 

간단한 계산을 통해 $f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{(x-q{)}^2}{a}}+p(x\ge q)$, $g^{-1}(x)={\displaystyle \frac{x-n}{m}}$임을 알 수 있다.

여기서 현재 $y=f^{-1}(x)$의 그래프는 온전한 이차함수의 그래프가 아니고 정의역이 $x=q$부터 잘려있는 그래프다.

 

하지만 그렇게 정의역이 잘려있는 이차함수의 그래프가 직선과 접하므로,

정의역이 온전한 이차함수의 그래프 또한 직선과 접한다!

 

즉, 이차함수 정의역이 온전한 이차함수 $h(x)={\displaystyle \frac{(x-q{)}^2}{a}}+p$의 그래프도 $y=g^{-1}(x)$의 그래프와 접한다.

즉, 이차방정식 $h(x)-g^{-1}(x)=0$의 판별식의 값은 $0$이다.

 

이제부터는 단순한 계산이다. 먼저 $h(x)-g^{-1}(x)=0$을 전개하여 판별식을 구해보자.

${\displaystyle \frac{(x-q{)}^2}{a}}+p-{\displaystyle \frac{x-n}{m}}=0$

열심히 계산하면

$m(x^2-2qx+q^2+ap)-a(x-n)=0$

$m{x}^2-(2qm+a)x+m{q}^2+map+an=0$

 

이 이차방정식의 판별식을 $D_1$라 하자.

판별식 $D_1$을 구해보자.

 

$\begin{array}{rl}{D}_1=& (2qm+a{)}^2-4m(m{q}^2+map+an)\\ =& \cdots \\ =& a^2+4maq-4m^{2}ap-4man\end{array}$

 

이 $D_1$의 값이 $0$이다. 

 

 

한편, 방정식 $f(x)=g(x)$를 생각해보자.

$\sqrt{a(x-p)}+q=mx+n$에서 $q$를 이항하고 양변을 제곱하면

이차방정식 $a(x-p)=(mx+n-q{)}^2$이 나온다.

 

식을 전개하면 $m^2{x}^2+2m(n-q)x+n^2-2nq+q^2-ax+ap=0$,

$m^2{x}^2+(2m(n-q)-a)x+n^2-2nq+q^2+ap=0$

이다.

 

이 이차방정식의 판별식을 $D_2$라 하고, $D_2$를 구해보자.

 

$\begin{array}{rl}{D}_2=& (2m(n-q)-a{)}^2-4m^2(n^2-2nq+q^2+ap)\\ =& \cdots \\ =& a^2+4maq-4m^{2}ap-4man\end{array}$

 

이다. 

 

즉, $D_1$과 $D_2$가 일치한다!!!!!

 

 

그러니까 $f$와 $g$가 접한다 => $f^{-1}$과 $g^{-1}$이 접한다 => $h$와 $g$가 접한다 => $D_1=0$이다 => $D_2=0$이다

 

의 논리 순서로 증명이 완료되는 것이다.

 

 

 

 

 

 

이 내용을 증명 없이 교과서에서 다루어도 되는걸까.

문제집이라면 몰라도 교과서에서도 이런 문제가 등장하니 당황하고 실망스러워서

직접 고1과정에서 증명을 해보았다.

증명을 못할 수준은 아니지만 음...

수업시간이나 풀이과정에서 증명을 안할거면 문제로도 안내는게 맞지 않을까?

 

더 좋은 증명법이 있다면 댓글로 부탁드립니다.