돌수학

이번 포스팅 주제는 두 집합 사이의 일대일대응 관계를 이용하여 경우의 수 세기 이다. 이산수학에는 뭘 세는 문제가 많이 나온다.그런데 세는 게 쉬우면 문제로 안내겠지. 그 문제를 일반적인 방법으로 세는 게 어려우니다른 쉬운 방법을 통해서 세어서 문제를 푼다. 구체적인 예시를 들어서 보자.1. 세 숫자 1, 2, 3 중에서 중복을 허락하여 7개의 숫자를 뽑는 방법의 수2. 똑같은 공 7개를 서로 다른 3개의 상자 X, Y, Z에 넣는 방법의 수3. 방정식 a+b+c=7의 음이 아닌 정수해 (a, b, c)의 개수4. 7개의 ㅇ과 2개의 ㅣ를 일렬로 배열하는 방법의 수5. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 중에서 서로 다른 7개의 숫자를 뽑는 방법의 수 고등학교 수준의 쉬운 확통 문제니 다들 답..

이산수학이다. Discrete의 이산이 맞다.미적분학, 해석학 등에서 실수와 같은 연속체를 다루는 것과 반대로이산, 셀 수 있는 것들에 대해 다룬다.학부때 배운 내용 중 어려웠던 내용에 대해서만 포스팅하겠다. 이번 포스팅 주제는 카탈란 수이다. (Catalan numbers, 카탈랑 수) 별거 아니고 그냥 $\frac{1}{n+1} {2n \choose n}$을 $C_n$, 카탈란수라고 한다.보면 알듯 $n$의 값에 따라 변한다.   좌표평면에서 어떤 동점은 오른쪽 또는 위로 1씩 간다고 하자.이런 방법으로 원점 $ \mathrm{O}(0, 0)$에서 점 $ \mathrm{K} (n, n)$으로 가는 경로에 대하여 다음 물음에 답하여라.(1) 경로의 수를 구하여라.(2) 직선 $y=x$의 아랫부분을 지나..

앞선 포스팅들에서 알아본 정리들 중 다음 두 가지가 있다. 1. 행렬 $A$의 최소다항식 $m(x)$와 임의의 다항식 $p(x) \in \mathcal{F} [x]$ 에 대하여  $p(A)=0$ $\Longleftrightarrow$ $m(x)$ is a factor of $p(x)$ 2. (케일리 해밀턴 정리) $A$의 특성다항식 $f(x)$에 대하여  $f(A)=0$   1번은 최소다항식이 말 그대로 "최소"임과 division algorithm을 이용하여 증명하였고2번은 adjoint matrix를 이용하여 계수비교법으로 증명하였다. 또 1번과 2번을 결합하면  3. 최소다항식 $m(x)$는 특성다항식 $f(x)$를 나눈다는 사실도 알 수 있다.   이에 지난 포스팅에서 언급한 기약다항식을 바탕으로..

이번 포스팅에서는 케일리 해밀턴 정리와 기약다항식에 대해 알아보겠다. 매우 요긴하게 사용될 정리이니 꼭 알고 넘어가자.  케일리 해밀턴 정리는 간단하게 말하면 모든 정사각행렬은 자신의 특성방정식을 만족시킨다는 정리이다. Thm 1. Cayley - Hamilton$A_{n \times n}$을 $ \mathcal{F} $ 위에서의 정사각행렬이라 하고 $f(x)$를 $A$의 특성다항식이라 하자. ($f(x)=det(xI-A)$)그러면 $$f(A)=0$$이다. 이 정리는 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$에 대해서도 마찬가지로 성립한다.즉, $T$의 특성다항식을 $f(x)$라 하면 $f(T)=T_0$이다. ($T_0$은 영변환)   여기서는 adjoint matrix의 개념을 사용하여 증명하고,추후 T - ..

앞선 포스팅에 이어 선형대수학의 최소다항식에 대해 소개하겠다.이번 포스팅에서는 서로 닮은 행렬의 최소다항식과 선형연산자의 최소다항식 두 가지에 대해 소개하겠다.  먼저 최소다항식의 정의는 한 번 복기하고 넘어가자.  Def.Let $A$ be an $n$ x $n$ matrix over $ \mathcal{F}$. The monic polynomial $m(x)$ of smallest degree s.t $m(A)=0$ is called the minimal polynomial of a A.  즉, 어떤 행렬 $A$에 대하여 그 행렬을 영행렬로 만드는 다항식 중 차수가 가장 작고 최고차항의 계수가 1인 다항식을 최소다항식이라 했다.  이러한 최소다항식은 각 행렬마다 반드시 존재하고, 유일하게 존재한다는 ..

이번 포스팅에서는 선형대수학의 최소다항식(minimal polynomial)에 대해 알아보겠다.이는 최종적으로 선형 변환이나 행렬을 조르당 표준형 혹은 유리 표준형으로 나타내어  간단한 형태로 표현하는데에 기초가 되는 개념이다. 이 포스팅의 목적은 개념을 쉽고 자연스럽게 받아들이기 위함이므로 모든 내용을 엄밀하게 증명하지는 않겠다.   먼저 $ f(x)=a_m x^m +a_{m-1} x^{m-1} + \; \cdots \; +a_1 x+a_0 \quad (a_i \in \mathcal{F}) $ 라는 다항식과 $ A $라는 $ n $ x $ n$ 행렬을 고려하자.그러면  $$ f(A) := a_m A^m+a_{m-1}A^{m-1}+\; \cdots \; +a_1 A+a_0 I $$  를 행렬다항식(mat..

저번 글에 이어 리만 사상 정리(Riemann mapping theorem)의 증명을 이어가겠습니다. 먼저 저번 글 내용을 간략히 요약하겠습니다. 리만 사상 정리 :$ D(\neq \mathbb{C}) $ 가 simply connected domain이고 $ z_0 \in D$ 이면$ \exists $ unique bijective conformal function $f$ which maps $D$ onto the disk $|z|s.t $ f(z_{0})=0 , f'(z_{0})>0$.  리만 사상 정리가 의미하는 바는 복소평면 상의 $ \mathbb{C}$가 아닌 임의의 두 단순 연결 영역은 동형이라는 뜻입니다.이 정리의 증명을 위해 저번 글에서 균등유계(uniformly bounded)와, norm..

복소해석학 분야에서 중요하게 다뤄지는 리만 사상 정리에 대해 알아보자. 증명이 매우 긴 관계로 (1)과 (2)로 게시글을 나누겠다.해당 내용은 (수학교육과)학부 수준의 복소해석학 수업에서 다뤄지는 경우도 있고, 다루지 않는 경우도 있다고 한다.(교수님 피셜)필자는 프로젝트 형태로 해당 내용을 공부했고, 이를 정리하여 적어보려한다.  리만 사상 정리(Riemann mapping theorem) $ D(\neq \mathbb{C}) $ 가 simply connected domain이고 $ z_0 \in D$ 이면$ \exists $ unique bijective conformal function $f$ which maps $D$ onto the disk $|z|s.t $ f(z_{0})=0 , f'(z_{0..