돌수학

앞선 포스팅들에서 알아본 정리들 중 다음 두 가지가 있다. 1. 행렬 $A$의 최소다항식 $m(x)$와 임의의 다항식 $p(x) \in \mathcal{F} [x]$ 에 대하여  $p(A)=0$ $\Longleftrightarrow$ $m(x)$ is a factor of $p(x)$ 2. (케일리 해밀턴 정리) $A$의 특성다항식 $f(x)$에 대하여  $f(A)=0$   1번은 최소다항식이 말 그대로 "최소"임과 division algorithm을 이용하여 증명하였고2번은 adjoint matrix를 이용하여 계수비교법으로 증명하였다. 또 1번과 2번을 결합하면  3. 최소다항식 $m(x)$는 특성다항식 $f(x)$를 나눈다는 사실도 알 수 있다.   이에 지난 포스팅에서 언급한 기약다항식을 바탕으로..

이번 포스팅에서는 케일리 해밀턴 정리와 기약다항식에 대해 알아보겠다. 매우 요긴하게 사용될 정리이니 꼭 알고 넘어가자.  케일리 해밀턴 정리는 간단하게 말하면 모든 정사각행렬은 자신의 특성방정식을 만족시킨다는 정리이다. Thm 1. Cayley - Hamilton$A_{n \times n}$을 $ \mathcal{F} $ 위에서의 정사각행렬이라 하고 $f(x)$를 $A$의 특성다항식이라 하자. ($f(x)=det(xI-A)$)그러면 $$f(A)=0$$이다. 이 정리는 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$에 대해서도 마찬가지로 성립한다.즉, $T$의 특성다항식을 $f(x)$라 하면 $f(T)=T_0$이다. ($T_0$은 영변환)   여기서는 adjoint matrix의 개념을 사용하여 증명하고,추후 T - ..

앞선 포스팅에 이어 선형대수학의 최소다항식에 대해 소개하겠다.이번 포스팅에서는 서로 닮은 행렬의 최소다항식과 선형연산자의 최소다항식 두 가지에 대해 소개하겠다.  먼저 최소다항식의 정의는 한 번 복기하고 넘어가자.  Def.Let $A$ be an $n$ x $n$ matrix over $ \mathcal{F}$. The monic polynomial $m(x)$ of smallest degree s.t $m(A)=0$ is called the minimal polynomial of a A.  즉, 어떤 행렬 $A$에 대하여 그 행렬을 영행렬로 만드는 다항식 중 차수가 가장 작고 최고차항의 계수가 1인 다항식을 최소다항식이라 했다.  이러한 최소다항식은 각 행렬마다 반드시 존재하고, 유일하게 존재한다는 ..

이번 포스팅에서는 선형대수학의 최소다항식(minimal polynomial)에 대해 알아보겠다.이는 최종적으로 선형 변환이나 행렬을 조르당 표준형 혹은 유리 표준형으로 나타내어  간단한 형태로 표현하는데에 기초가 되는 개념이다. 이 포스팅의 목적은 개념을 쉽고 자연스럽게 받아들이기 위함이므로 모든 내용을 엄밀하게 증명하지는 않겠다.   먼저 $ f(x)=a_m x^m +a_{m-1} x^{m-1} + \; \cdots \; +a_1 x+a_0 \quad (a_i \in \mathcal{F}) $ 라는 다항식과 $ A $라는 $ n $ x $ n$ 행렬을 고려하자.그러면  $$ f(A) := a_m A^m+a_{m-1}A^{m-1}+\; \cdots \; +a_1 A+a_0 I $$  를 행렬다항식(mat..