[선형대수학] 최소다항식(minimal polynomial) (2)

 

 

앞선 포스팅에 이어 선형대수학의 최소다항식에 대해 소개하겠다.

이번 포스팅에서는 서로 닮은 행렬의 최소다항식과 선형연산자의 최소다항식 두 가지에 대해 소개하겠다.

 

 

먼저 최소다항식의 정의는 한 번 복기하고 넘어가자.

 

 

Def.

Let $A$ be an $n$ x $n$ matrix over $ \mathcal{F}$. The monic polynomial $m(x)$ of smallest degree s.t $m(A)=0$ is called the minimal polynomial of a A.

 

 

즉, 어떤 행렬 $A$에 대하여 그 행렬을 영행렬로 만드는 다항식 중 차수가 가장 작고 최고차항의 계수가 1인 다항식을 최소다항식이라 했다.

 

 

이러한 최소다항식은 각 행렬마다 반드시 존재하고, 유일하게 존재한다는 사실까지 증명했다.

 

 

이번 포스팅에서는 서로 닮은 두 행렬 $A$, $B$에 대하여

$A$의 최소다항식 $m_A(x)$와 $B$의 최소다항식 $m_B(x)$가 서로 같음을 증명하겠다.

 

 

pf)

$A$와 $B$가 서로 닮았으므로 가역행렬 $P$가 존재하여 $B=P^{-1}AP$를 만족한다. (닮은 행렬의 정의)

따라서 $m_A(B)=m_A(P^{-1}AP)=P^{-1}m_A(A)P$이다. ($\because P^{-1}P=I$, 이해 안되면 $(P^{-1}AP)^3$을 쭉 써보고 $P^-1A^3P$와 비교해봐라.)

$m_A(A)=0$이므로 $m_A(B)=0$이다.

즉, 지난 포스팅(https://dolmath.tistory.com/15)의 정리1에 의해 $m_B(x)$는 $m_A(x)$를 나눈다. 

위와 동일한 논리로 $A$와 $B$의 역할만 바꿔주면 $m_A(x)$는 $m_B(x)$를 나눈다.

즉 서로가 서로를 나누고 최고차항의 계수가 1이므로 $m_A(x)=m_B(x)$이다.

 

 

 

쉽게 받아들이고 넘어가자. 지금까지는 행렬의 최소다항식에 대해 설명했다. 이제부터 선형연산자의 최소다항식에 대해 소개하겠다. 먼저 행렬과 선형연산자의 개념에 대해 간단하게 짚고 넘어가자.

 

 

벡터공간 $V$와 그 $V$에서의 선형연산자 $T$에 대하여 $V$의 기저$( \beta )$가 특정되면 그 기저를 이용하여 $T$를 행렬$( [T]_\beta )$로 표현할 수 있다.

 

 

또 $V$의 서로 다른 두 기저 $  \beta $ , $ \beta ' $에 대하여 $T$의 행렬표현은 각각 $ [T]_\beta$, $[T]_{\beta '}$이고, 가역행렬 $P$가 존재하여 $[T]_\beta = P^{-1}[T]_{\beta '}P$이다. ($P$는 기저를 변환시켜주는 행렬, 추이행렬이라 한다.)

 

 

추이행렬에 관한 포스팅이 아니므로 이정도만 알아두자.

하고싶은 말은, 선형연산자 $T$에 대하여 서로 다른 기저에 대한 행렬표현은 서로 닮음이므로

임의의 기저 $ \beta $에 대하여 $[T]_\beta$의 최소다항식은 모두 같다. 

 

 

어떤 기저를 선택하든 $T$의 행렬표현의 최소다항식은 모두 동일하므로, 그것을 $m(x)$라 하면 자연스럽게 선형연산자의 최소다항식은 $m(x)$라 정의할 수 있을 것이다. (1)

 

 

선형연산자 $T$의 최소다항식 $m(x)$의 정의는 행렬에서와 유사하게, $m(T)$가 영함수가 되도록 하는 가장 작은 차수의 최고차항의 계수가 1인 다항식이다. (2)

 

 

행렬에서는 그 행렬을 영행렬로 만드는 가장 작은 다항식이었고 선형연산자에서는 그 연산자를 영함수로 만드는 가장 작은 다항식이다. 

 

 

우리는 자연스럽게 $T$의 최소다항식과 그 $T$의 행렬표현의 최소다항식이 같음,

즉, (1)과 (2)가 같은 말을 예측할 수 있다.

$T$와 $[T]_\beta$는 동일시 할 수 있으므로 이는 자연스럽게 받아들이고 넘어가자.

 

 

 

 

이제는 고윳값과 최소다항식의 관계에 관한 정리를 소개하겠다.

 

Thm 1. 유한차원 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$와 $T$의 최소다항식 $m(x)$에 대하여 $\lambda$가 $T$의 고윳값이기 위한 필요충분조건은 $m(\lambda)=0$이다. 즉, $T$의 최소다항식의 근과 특성다항식의 근은 같다.

 

 

pf) (<=)

$T$의 특성다항식을 $f(x)$라 하면 $f(T)=0$이므로($ \because$ 케일리해밀턴정리) $m(x)$는 $f(x)$를 나눈다.

즉, $f(x)=q(x)m(x)$인 다항식 $q(x)$가 존재한다. 

$m(\lambda)=0$이면 $f(\lambda)=0$이므로 $\lambda$는 특성다항식의 근, 즉, $T$의 고윳값이다.

 

 

(=>)

$f(\lambda)=0$이면 $\lambda$에 대응하는 고유벡터 $v \in V$에 대하여 $T(v)=\lambda v$이므로 

$$m(T)(v)=m(\lambda)v$$이다.

최소다항식의 정의에 의해 $m(T)$는 영함수이므로 $m(T)(v)=m(\lambda)v=0$이고,

$v \neq 0$이므로 $m(\lambda)=0$이다.

 

 

이로 인해 중요한 따름정리를 소개하겠다.

 

Cor 1. 유한차원 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$와 그 최소다항식 $m(x)$, 특성다항식 $f(x)$를 고려하자. $T$의 서로 다른 고윳값 $\lambda _1$, $\lambda _2$, $\cdots $, $\lambda _k$에 대하여$f(x)$가 $$f(x)=(x-\lambda _1)^{f_1}(x-\lambda _2)^{f_2} \cdots (x-\lambda _k)^{f_k}$$로 인수분해 된다고 하자. 모든 $i$에 대하여 $1 \leq m_i \leq f_i$이고 $m_1$, $m_2$, $\cdots$, $m_k$가 존재하여 $$m(x)=(x-\lambda _1)^{m_1}(x-\lambda _2)^{m_2} \cdots (x-\lambda _k)^{m_k}$$이다.

 

 

증명은 정리1을 이용하여 자연스럽게 얻어지므로 생략하겠다. 

이 정리를 단순히 고윳값의 관점이 아닌, 조금 더 일반화된 정리를 후에 포스팅에서 다시 언급하며 엄밀히 증명하겠다.

 

 

 

 

이렇게 두 포스팅에 걸쳐서 최소다항식의 개념과 간단한 정리에 대해 소개했다. 다음으로는 앞에서 언급된 케일리해밀턴 정리에 대해 소개하며 최종적으로 유리 표준형과 조르당 표준형에 대해 소개하겠다.