돌수학

이번 포스팅 주제는 두 집합 사이의 일대일대응 관계를 이용하여 경우의 수 세기 이다. 이산수학에는 뭘 세는 문제가 많이 나온다.그런데 세는 게 쉬우면 문제로 안내겠지. 그 문제를 일반적인 방법으로 세는 게 어려우니다른 쉬운 방법을 통해서 세어서 문제를 푼다. 구체적인 예시를 들어서 보자.1. 세 숫자 1, 2, 3 중에서 중복을 허락하여 7개의 숫자를 뽑는 방법의 수2. 똑같은 공 7개를 서로 다른 3개의 상자 X, Y, Z에 넣는 방법의 수3. 방정식 a+b+c=7의 음이 아닌 정수해 (a, b, c)의 개수4. 7개의 ㅇ과 2개의 ㅣ를 일렬로 배열하는 방법의 수5. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 중에서 서로 다른 7개의 숫자를 뽑는 방법의 수 고등학교 수준의 쉬운 확통 문제니 다들 답..

이산수학이다. Discrete의 이산이 맞다.미적분학, 해석학 등에서 실수와 같은 연속체를 다루는 것과 반대로이산, 셀 수 있는 것들에 대해 다룬다.학부때 배운 내용 중 어려웠던 내용에 대해서만 포스팅하겠다. 이번 포스팅 주제는 카탈란 수이다. (Catalan numbers, 카탈랑 수) 별거 아니고 그냥 $\frac{1}{n+1} {2n \choose n}$을 $C_n$, 카탈란수라고 한다.보면 알듯 $n$의 값에 따라 변한다.   좌표평면에서 어떤 동점은 오른쪽 또는 위로 1씩 간다고 하자.이런 방법으로 원점 $ \mathrm{O}(0, 0)$에서 점 $ \mathrm{K} (n, n)$으로 가는 경로에 대하여 다음 물음에 답하여라.(1) 경로의 수를 구하여라.(2) 직선 $y=x$의 아랫부분을 지나..

하 너무 답답해서 블로그를 켰다. 아래는 동아출판의 고등학교 1학년 수학 무리함수 단원의 문항 중 하나다.  아래는 교학사의 고등학교 1학년 수학 교과서 무리함수 단원 문항 중 하나다. 11번을 보자.   두 문제는 모두 두 함수 $y=\sqrt{a(x-p)}+q$와 $y=mx+n$의 그래프가 접하는 상황을 다룬다.그런데 11번의 해설을 보면 알겠지만(해설은 지도서에 나오는 내용이다.)냅다 연립해서 제곱하여 이차방정식을 만든 뒤 판별식 $D$가 $0$임을 이용해서 문제를 푼다. 비단 교과서 뿐만이 아니다.시중의 많은 문제집의 무리함수 단원에서두 함수(무리함수, 일차함수)의 그래프가 접하면 저렇게 이항하고, 제곱하여 이차방정식을 만든 뒤 그 이차방정식의 판별식이 $0$이다. 라고 풀고있다. 왜???? 증명..

앞선 포스팅들에서 알아본 정리들 중 다음 두 가지가 있다. 1. 행렬 $A$의 최소다항식 $m(x)$와 임의의 다항식 $p(x) \in \mathcal{F} [x]$ 에 대하여  $p(A)=0$ $\Longleftrightarrow$ $m(x)$ is a factor of $p(x)$ 2. (케일리 해밀턴 정리) $A$의 특성다항식 $f(x)$에 대하여  $f(A)=0$   1번은 최소다항식이 말 그대로 "최소"임과 division algorithm을 이용하여 증명하였고2번은 adjoint matrix를 이용하여 계수비교법으로 증명하였다. 또 1번과 2번을 결합하면  3. 최소다항식 $m(x)$는 특성다항식 $f(x)$를 나눈다는 사실도 알 수 있다.   이에 지난 포스팅에서 언급한 기약다항식을 바탕으로..

이번 포스팅에서는 케일리 해밀턴 정리와 기약다항식에 대해 알아보겠다. 매우 요긴하게 사용될 정리이니 꼭 알고 넘어가자.  케일리 해밀턴 정리는 간단하게 말하면 모든 정사각행렬은 자신의 특성방정식을 만족시킨다는 정리이다. Thm 1. Cayley - Hamilton$A_{n \times n}$을 $ \mathcal{F} $ 위에서의 정사각행렬이라 하고 $f(x)$를 $A$의 특성다항식이라 하자. ($f(x)=det(xI-A)$)그러면 $$f(A)=0$$이다. 이 정리는 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$에 대해서도 마찬가지로 성립한다.즉, $T$의 특성다항식을 $f(x)$라 하면 $f(T)=T_0$이다. ($T_0$은 영변환)   여기서는 adjoint matrix의 개념을 사용하여 증명하고,추후 T - ..

앞선 포스팅에 이어 선형대수학의 최소다항식에 대해 소개하겠다.이번 포스팅에서는 서로 닮은 행렬의 최소다항식과 선형연산자의 최소다항식 두 가지에 대해 소개하겠다.  먼저 최소다항식의 정의는 한 번 복기하고 넘어가자.  Def.Let $A$ be an $n$ x $n$ matrix over $ \mathcal{F}$. The monic polynomial $m(x)$ of smallest degree s.t $m(A)=0$ is called the minimal polynomial of a A.  즉, 어떤 행렬 $A$에 대하여 그 행렬을 영행렬로 만드는 다항식 중 차수가 가장 작고 최고차항의 계수가 1인 다항식을 최소다항식이라 했다.  이러한 최소다항식은 각 행렬마다 반드시 존재하고, 유일하게 존재한다는 ..

이번 포스팅에서는 선형대수학의 최소다항식(minimal polynomial)에 대해 알아보겠다.이는 최종적으로 선형 변환이나 행렬을 조르당 표준형 혹은 유리 표준형으로 나타내어  간단한 형태로 표현하는데에 기초가 되는 개념이다. 이 포스팅의 목적은 개념을 쉽고 자연스럽게 받아들이기 위함이므로 모든 내용을 엄밀하게 증명하지는 않겠다.   먼저 $ f(x)=a_m x^m +a_{m-1} x^{m-1} + \; \cdots \; +a_1 x+a_0 \quad (a_i \in \mathcal{F}) $ 라는 다항식과 $ A $라는 $ n $ x $ n$ 행렬을 고려하자.그러면  $$ f(A) := a_m A^m+a_{m-1}A^{m-1}+\; \cdots \; +a_1 A+a_0 I $$  를 행렬다항식(mat..

고1 2024년 6월 모의고사 수학 22번부터 30번 손풀이입니다.      이상으로 고1 2024년 6월모의고사 단답형문항 손해설이었습니다. 감사합니다.

고1 2024년 6월 모의고사 수학 1번부터 21번 손풀이입니다.             다음 글에서는 22~30번 서술형 손풀이로 찾아뵙겠습니다. 감사합니다.

저번 글에 이어 리만 사상 정리(Riemann mapping theorem)의 증명을 이어가겠습니다. 먼저 저번 글 내용을 간략히 요약하겠습니다. 리만 사상 정리 :$ D(\neq \mathbb{C}) $ 가 simply connected domain이고 $ z_0 \in D$ 이면$ \exists $ unique bijective conformal function $f$ which maps $D$ onto the disk $|z|s.t $ f(z_{0})=0 , f'(z_{0})>0$.  리만 사상 정리가 의미하는 바는 복소평면 상의 $ \mathbb{C}$가 아닌 임의의 두 단순 연결 영역은 동형이라는 뜻입니다.이 정리의 증명을 위해 저번 글에서 균등유계(uniformly bounded)와, norm..