[선형대수학] 최소다항식(minimal polynomial) (1)

 

 

이번 포스팅에서는 선형대수학의 최소다항식(minimal polynomial)에 대해 알아보겠다.

이는 최종적으로 선형 변환이나 행렬을 조르당 표준형 혹은 유리 표준형으로 나타내어  간단한 형태로 표현하는데에 기초가 되는 개념이다. 

이 포스팅의 목적은 개념을 쉽고 자연스럽게 받아들이기 위함이므로 모든 내용을 엄밀하게 증명하지는 않겠다.

 

 

 

먼저 $ f(x)=a_m x^m +a_{m-1} x^{m-1} + \; \cdots \; +a_1 x+a_0 \quad (a_i \in \mathcal{F}) $ 

라는 다항식과 $ A $라는 $ n $ x $ n$ 행렬을 고려하자.

그러면

 

 

$$ f(A) := a_m A^m+a_{m-1}A^{m-1}+\; \cdots \; +a_1 A+a_0 I $$

 

 

를 행렬다항식(matrix polynomial)이라고 말하고 자연스럽게 받아들일 수 있다.

 

 

여기서 중요한 점은 기존 $ f(x) $의 상수항 $a_0$가 행렬다항식에서는 $a_0 I$가 된다는 점이다.

(조금만 생각해보면 그렇게 정의되어야 모두가 편안하다.)

 

 

 

$ n $ x $ n$ 행렬 $A$에 대하여 집합 $ \{ I, A, A^2, \; \cdots \; A^{n^2} \} $을 고려하자. 

이 집합은 원소의 개수가 $ n^2 +1$이다. $ n $ x $ n$ 행렬들의 집합은 차원이 $n^2$인 벡터공간임을 고려하면 원소의 개수가  $n^2+1$인 집합은 일차 독립일 수 밖에 없다. 즉, 이 집합은 일차독립이다.

 

따라서 $ \exists $ the largest $ k \in \mathbb{N}$ s.t $$ \{ I, A, A^2, \; \cdots \; , A^k-1 \}$$ is linearly independent.

 

 

이 집합에 $A^k$를 포함시키는 순간 일차종속이 되므로 상수 $c_i  \; ( i=0, 1, 2, \; \cdots \; k-1 ) $가 존재하여 $$A^k=c_{k-1}A^{k-1}+ \; \cdots \; +c_1A+c_0I$$라 할  수 있다.

 

 

즉, 앞서 언급한 행렬다항식(matrix polynomial)의 개념과 결합하면 $f(x)=x^k - c_{k-1}x^{k-1}- \; \cdots \; -c_1x-c_0$ 에 대하여 $f(A)=0$이다. (여기서 $0$은 당연하게도 영행렬을 뜻한다.)

 

 

 

즉, 임의의 $n$ x $n$ 행렬 $A$에 대하여 $f(A)=0$이 되도록 하는 다항식 $f(x)$는 항상 존재한다. 

이러한 다항식 중 차수가 가장 낮고 최고차항의 계수가 1인 다항식이 최소다항식(minimal polynomial)이다. 주로 $m(x)$라 쓴다. 아래는 정확한 정의이다.

 

Def. Let $A$ be an $n$ x $n$ matrix over $ \mathcal{F}$. The monic polynomial $m(x)$ of smallest degree s.t $m(A)=0$ is called the minimal polynomial of a A.

 

 

우리는 앞서 행렬 $A$를 영행렬로 만드는 다항식이 항상 존재한다는 존재성은 증명했다.

이제부터 최소다항식의 유일성에 대해 증명할 것이다.

유일성을 증명함에 필요한 (앞으로도 매우 중요한)다음 정리를 먼저 증명하겠다.

 

Thm 1. Let $A$ be an $n$ x $n$ matrix over $ \mathcal{F}$, and $m(x)$ be the minimal polynomial of $A$.  For any polynomial $p(x) \in \mathcal{F}[x]$, $p(A)=0$ if and only if $m(x)$ is a factor of $p(x)$. pf) 역방향은 자명하다. 정방향만 나눗셈정리(division algorithm)와 $m(x)$의 차수가 최소임을 이용하여 증명하겠다. (참고로 대수에서 나눗셈정리를 이용한 증명은 종종 중요하게 나타난다.) 나눗셈정리에 의하여 $p(x)$를 $m(x)$로 나눈 몫과 나머지는 유일하게 존재하고, 이를 각각 $q(x)$, $r(x)$라 하자. 즉, $p(x)=q(x)m(x)+r(x)$꼴이고 $r(x)$의 차수는 $m(x)$보다 작다. $r(x) \neq 0$이라 가정하면 모순임을 보이자. 가정에 의해 $p(A)=0$이므로 $p(A)=q(A)m(A)+r(A)=0$이다. 최소다항식의 정의에 의해 $m(A)=0$이므로 $p(A)=0+r(A)=r(A)=0$이다. 최소다항식의 정의에 의해 $m(x)$는 행렬 $A$가 영행렬이 되게 하는 차수가 가장 작은 다항식이었는데, $r(x)$라는 $m(x)$보다 차수가 작은 다항식이 $A$를 영행렬로 만들고 있으므로 모순이다.  즉, $r(x)=0$이고 $p(x)=q(x)m(x)$꼴이다. 즉, $m(x)$는 $p(x)$를 나눈다.

 

 

 

 

이제 유일성은 쉽게 증명된다.

$m_1(x)$와 $m_2(x)$가 모두 어떤 행렬 $A$의 특성다항식이면 앞선 정리 1에 의해 $m_1(x)$ 는 $m_2(x)$를 나눈다.

이때 두 최소다항식의 차수는 같으므로 어떤 적당한 상수 $c$가 존재하여 $m_2(x)=c \, m_1(x)$이다.

이때 최소다항식의 정의에 의해 두 다항식의 최고차항의 계수는 1로 같으므로 $c=1$이다. 즉, $m_2(x)=m_1(x)$이다.

 

 

 

이렇게 행렬의 최소다항식의 정의에 대해 알아보았다.

다음 포스팅에서는 서로 닮은 행렬의 최소다항식과 선형연산자에서의 최소다항식에 대해 소개하겠다.