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[복소해석학] 리만 사상 정리(Riemann mapping theorem) (1) 본문
복소해석학 분야에서 중요하게 다뤄지는 리만 사상 정리에 대해 알아보자.
증명이 매우 긴 관계로 (1)과 (2)로 게시글을 나누겠다.
해당 내용은 (수학교육과)학부 수준의 복소해석학 수업에서 다뤄지는 경우도 있고, 다루지 않는 경우도 있다고 한다.
(교수님 피셜)
필자는 프로젝트 형태로 해당 내용을 공부했고, 이를 정리하여 적어보려한다.
리만 사상 정리(Riemann mapping theorem)
s.t
쉽게 말해 복소평면 그 자체가 아닌 단순 연결 영역에서 단위원판으로 가는
bij, conf,
즉, 복소평면 그 자체가 아닌 두 단순 연결 영역

수학에서 동형, 즉 구조적으로 같다는 것은 이루 말할 수 없이 크리티컬하다는 사실을 모두 알고 있을 것이다.
따라서 이 정리의 중요성은 더 언급하지 않겠다.
이 정리를 증명하기 위해선 복소함수론 전반에 대한 이해가 필요하다. 그중 일부 정의와 Montel's Thm에 관한 내용만 언급하겠다.
Def. 실수
함수족
해석학에서 배운 균등유계와 같은 개념이다. 쉽게 넘어가자.
Def. 모든
함수족
Montel's theorem
만약
Montel's thm에서 locally uniformly bdd는
위 내용을 인지한 채 이제 리만 사상 정리의 증명을 시작하겠다. 위 내용이 완벽히 이해가 가지 않더라도 일단 아래의 증명을 보며 따라가보길 권장한다. 아래의 증명에서 이해되지 않는 부분은 그때 찾아봐도 늦지않다.
(본 글은 리만 사상 정리에 관한 글이므로 몬텔정리 등의 다른 정리들은 증명없이 사용하겠다.)
리만 사상 정리(Riemann mapping theorem) 증명
해당 함수의 존재성과 유일성을 따로 증명하겠다.
유일성부터 증명하겠다.
(Uniqueness) 조건을 만족시키는 두 함수
게다가
유일성 증명은 위에서 언급한 내용이 사용되지 않는다. 쉽게 받아들일 수 있으니 빠르게 넘어가자.
(Existence) 우선 함수족
존재성을 증명할 때 그런 함수족
마지막으로
- Step 1 : 그러한
Case 1 :
즉,
이제 함수
적절한 선형변환을 통해
Case 2 :
유계가 아니면
그러면 해석적이고 단사인
이제
원점에 대칭인 점인
이제 Case 1과 같이
적절한 선형변환을 통해
나머지 증명은 두번째 게시물에서 이어가겠다.
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