[선형대수학] 특성다항식과 최소다항식 관계

 

 

 

앞선 포스팅들에서 알아본 정리들 중 다음 두 가지가 있다.

 

1. 행렬 $A$의 최소다항식 $m(x)$와 임의의 다항식 $p(x) \in \mathcal{F} [x]$ 에 대하여 

 

$p(A)=0$ $\Longleftrightarrow$ $m(x)$ is a factor of $p(x)$

 

2. (케일리 해밀턴 정리) $A$의 특성다항식 $f(x)$에 대하여 

 

$f(A)=0$

 

 

 

1번은 최소다항식이 말 그대로 "최소"임과 division algorithm을 이용하여 증명하였고

2번은 adjoint matrix를 이용하여 계수비교법으로 증명하였다.

 

또 1번과 2번을 결합하면 

 

3. 최소다항식 $m(x)$는 특성다항식 $f(x)$를 나눈다는 사실도 알 수 있다.

 

 

 

이에 지난 포스팅에서 언급한 기약다항식을 바탕으로

이번 포스팅에서는 앞으로 유용하게 쓰일 정리에 대해 알아보겠다.

(비슷한 정리를 이전 포스팅 [선형대수학] 최소다항식(2) 말미에서 언급하였고, 증명없이 넘어갔다.)

 

 

Thm 1. 만약 특성다항식 $f(x)$가 서로소(relatively prime)이고 최고차항의 계수가 1(monic)이고 기약(irreducible)인 다항식 $p_i(x)$들에 대하여 $$f(x)=p_1(x)^{f_1} \, \cdots \, p_k(x)^{f_k} \quad (f_i \in \mathbb{N})$$ 꼴로 나타나면 최소다항식 $m(x)$는  $$m(x)=p_1(x)^{m_1} \, \cdots \, p_k(x)^{m_k} \quad 1 \leq m_i \leq f_i$$ 꼴로 나타난다.

 

예를 들어서 쉽게 말하면

$f(x)=(x-1)^2(x-2)$ 라면, 그 최소다항식 $m(x)$는 $m(x)=(x-1)(x-2)$ 아니면 $m(x)=(x-1)^2(x-2)$ 둘 중 하나라는 것이다.

 

위 정리는 특성다항식이 주어지면, 이를 통해 최소다항식의 형태가 어느정도 특정된다는 점에서 시사하는 바가 크다.

이 후 포스팅에서 언급될 내용들에서 매우 요긴하게 사용되니 꼭 기억하자.

 

사실 위에서 언급한 3. $m(x)$가 $f(x)$를 나눠야 한다는 사실로 어느정도 어려움 없이 자연스럽게 받아들일 수 있다.

 

 

pf)

우리는 체 $ \mathcal{F}$가 (i) 복소수($ \mathcal{F}= \mathbb{C}$) 이거나 (ii) 실수($\mathcal{F}= \mathbb{R}$) 인

두 가지 경우만 다루겠다. 선형대수학에서는 이 두 가지 경우만 다루자. 이 이상의 내용은 현대대수학에서 학습하자.

 

(i) $ \mathcal{F}= \mathbb{C}$

복소수체에서는 대수학의 기본정리에 의해 모든 기약다항식이 일차식이다. 

즉, $f(x)=(x- \lambda_1)^{f_1} \; \cdots \; (x- \lambda_k)^{f_k} $꼴이다.

여기서 $\lambda_i$들은 고유값이다. (특성다항식이니까)

각 $\lambda_i$에 대응되는 고유벡터 $v$에 대하여 

$\lambda_i \, v=Av$이므로 $m(A)v=m(\lambda_i)v$이다. 

이때 $m(A)=0$이므로 $m(\lambda_i)=0$이다. 

즉, 모든 $ \lambda_i$에 대하여 $(x-\lambda_i)$는 $m(x)$의 인수이다. 

그러므로 $m(x)=(x-\lambda_1)^{m_1} \; \cdots \; (x-\lambda_k)^{m_k} $꼴이고, $ 1 \leq m_i $이다. 

$m(x)$가 $f(x)$를 나눠야 함에서 $m_i \leq f_i$이다. 따라서 복소수 위에서의 증명은 끝났다.

 

(ii) $\mathcal{F}= \mathbb{R}$

실수에서 기약다항식은 일차 아니면 이차식이다. (저번 포스팅에서 증명하였다.)

일차인 $p_i(x)$들에 대해서는 (i)과 동일하게 증명이 된다.

즉, 우리는 이차인 $p_i(x)$들에 대해서만 증명하면 된다.

 

우리는 억지로 복소수체를 끌고 와서 실수체를 복소수체의 부분체의 입장에서 바라볼 것이다.

어떤 느낌이냐면... $x^2+1$이 실계수 다항식이긴 하지만, 복소계수 다항식으로도 볼 수 있잖아. 실수도 복소수니까.

또 실계수 다항식이라고 해서 복소수를 못대입하는건 아니잖아.

이 말이 이해가 안가면 그냥 대충 자연스럽게 받아들이고 넘어가자. 증명함에 있어서 중요하지 않다. 선형대수학에 있어서도 그리 중요하지 않은 내용인 것 같다. 현대대수학에서 학습하도록 하자.

 

이차인 $p_i(x)$에 대하여 $\lambda$가 $p_i(x)=0$의 복소 근이라고 하자. (이차인 기약다항식이니까 실근이 아니라 복소근이다.)

($p_i(x)$는 실계수다항식이므로 $p_i(\lambda_i)=p_i(\bar{\lambda_i})=0$)

또 그 $\lambda_i$에 대응되는 고유벡터를 $v \in \mathbb{C}^n$라 하자.

그러면 (i)과 같은 전개로 $m(\lambda_i)=0$이다. 

$m(x)$는 실계수 다항식이므로 복소수 $\lambda_i$가 $m(x)=0$의 근이면,

$\lambda_i$의 켤레, 즉 $\bar{\lambda_i}$ 또한 $m(x)=0$의 근이다.

즉, $p_i(x)$는 $m(x)$의 인수이고 $1 \leq m_i \leq f_i$가 성립한다.

 

 

 

 

어렵지는 않은 증명이다. 사실 선형대수학에서 나오는 증명들은 실, 복소해석학, 위상수학, 현대대수학에 비하면

읽고 따라가기에 어렵지 않은 내용들이 많다. 그러니 증명을 두려워하고 포기하지 말자.

 

 

 

이제 이 정리를 이용하여 실제 구체적인 행렬의 특성다항식을 이용하여 최소다항식을 구해보겠다.

 

 

ex 1)

행렬 $A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$가 있다.

$A$의 특성다항식은 $f(x)=(x-1)(x-3)^2$이다. (상삼각행렬이므로 특성다항식은 주대각요소의 곱으로 빠르게 알 수 있다.)

이로 인해 방금 익힌 정리에 의하여 최소다항식은 $m(x)=(x-1)(x-3)$ 혹은 $(x-1)(x-3)^2$ 둘 중 하나임을 알 수 있다.

이젠 직접 $(A-1)(A-3)$을 해보는 수 밖에 없다.

$(A-1)(A-3)$을 계산했더니 영행렬이 나온다면 최소다항식은 $(x-1)(x-3)$인 것이고, 

영행렬이 나오지 않는다면 최소다항식은 $(x-1)(x-3)^2$인 것이다.

 

 

 

이번 포스팅에서는 이렇게 특성다항식과 최소다항식의 관계에 대해 알아보았다. 

다음 포스팅에서는 이를 바탕으로 조금 심화하여 벡터공간의 분해에 대해 다루겠다.

갑자기 뜬금없이 벡터공간분해? 라고 생각할 수 있겠지만, 사실 우리의 최종목표는 

벡터공간에서 어떤 선형연산자를 다루기 쉬운 행렬표현으로 나타내고자 함

이다. 이때 필요한 도구로 최소다항식, 케일리해밀턴정리 등을 학습한것이다. 

앞으로의 포스팅을 통해 퍼즐 조각이 끼워맞춰질 것이다.