돌수학

이번 포스팅에서는 케일리 해밀턴 정리와 기약다항식에 대해 알아보겠다. 매우 요긴하게 사용될 정리이니 꼭 알고 넘어가자.  케일리 해밀턴 정리는 간단하게 말하면 모든 정사각행렬은 자신의 특성방정식을 만족시킨다는 정리이다. Thm 1. Cayley - Hamilton$A_{n \times n}$을 $ \mathcal{F} $ 위에서의 정사각행렬이라 하고 $f(x)$를 $A$의 특성다항식이라 하자. ($f(x)=det(xI-A)$)그러면 $$f(A)=0$$이다. 이 정리는 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$에 대해서도 마찬가지로 성립한다.즉, $T$의 특성다항식을 $f(x)$라 하면 $f(T)=T_0$이다. ($T_0$은 영변환)   여기서는 adjoint matrix의 개념을 사용하여 증명하고,추후 T - ..

앞선 포스팅에 이어 선형대수학의 최소다항식에 대해 소개하겠다.이번 포스팅에서는 서로 닮은 행렬의 최소다항식과 선형연산자의 최소다항식 두 가지에 대해 소개하겠다.  먼저 최소다항식의 정의는 한 번 복기하고 넘어가자.  Def.Let $A$ be an $n$ x $n$ matrix over $ \mathcal{F}$. The monic polynomial $m(x)$ of smallest degree s.t $m(A)=0$ is called the minimal polynomial of a A.  즉, 어떤 행렬 $A$에 대하여 그 행렬을 영행렬로 만드는 다항식 중 차수가 가장 작고 최고차항의 계수가 1인 다항식을 최소다항식이라 했다.  이러한 최소다항식은 각 행렬마다 반드시 존재하고, 유일하게 존재한다는 ..